si \(\varphi\) \(:{\Bbb R}\to{\Bbb C}\) borélienne a tous ses moments \(\int^{+\infty}_{-\infty}x^k\varphi(x)\,dx\) nuls, alors \(\varphi\overset{pp}=0\)
s'il existe \(\varepsilon\gt 0\) tel que \(\int_I\varphi(x)^2e^{\varepsilon\lvert x\rvert}\,dx\lt +\infty\), alors \((x^k\varphi(x))_{k\in{\Bbb N}}\) est dense dans \(L^2(I)\)
exemples d'utilisation de ce théorème :
\((X^k)_{k\in{\Bbb N}}\) est dense dans \(L^2(I)\) (//théorème de Stone-Weierstrass)
\((x\mapsto e^{2\pi i kx})_{k\in{\Bbb N}}\) est totale dans \(L^2(I)\)
on peut utiliser Gram-Schmidt pour obtenir une famille \((P_k\varphi)_{k\in{\Bbb N}}\) orthogonale et totale
on dit alors que les \(P_k\) sont polynômes orthogonaux relativement aux poids \(\varphi^2\)
